開學季 | 第壹課《車輛路徑問題與算法》

請問膜拜技術大牛除了獻上膝蓋還有什么更好的方式？答：可以把大家的膝蓋一起獻上，又或者好好學習天天向上，利用碎片化時間多為自己充電，一起參與技術的交流與探討。——四月，我們迎來了藍芯科技的開學季，我們將在此分享機器人相關技術知識。今天是開學第壹課《車輛路徑問題與算法》，歡迎大家留言一起探討。
 

一 、車輛路徑問題
在介紹 （Vehicle Routing Problem,VRP）問題前，先介紹它的一個特例，旅行商問題（Traveling Salesman Problem, TSP）：有一個旅行商人，要拜訪n個城市，每個城市只能訪問一次，后返回到原來出發的城市。該商人要選擇一條路徑，路徑的選擇目標是旅程短。
 

圖1 TSP問題
 

車輛路徑問題（Vehicle Routing Problem,VRP）早是由Dantzig和Ramser于1959年*提出，它是指一定數量有一定數量（n個）的客戶，各自有不同數量的貨物需求（qi），配送中心或車場（depot）向客戶提供貨物，由一個車隊（m輛車）負責分送貨物，組織適當的行車路線，目標是使得客戶的需求得到滿足，并能在一定的約束下（例如車輛存在載荷上限Q、里程長度上限L），達到總旅行成本小、耗費時間少等目的[1, 2]。

圖 2 VRP問題

在理解了車輛路徑問題后，接下來介紹幾個常用的路徑搜索算法。

二、路徑搜索算法

在路徑搜索算法中，常用的算法用Dijkstra算法和 A*算法。這里不對算法原理進行詳細介紹，僅簡單給出相應的使用示例。給出一個網格圖，如圖3所示。在該網格圖中，僅橫、縱向相鄰網格可以通過，其中黑色背景網格不可通過。在網各圖中，每移動一格會增加一個單位成本?，F給定一個起點（46）和終點（49），通過Dijkstra算法和A*算法分別求解短路徑。

圖 3網格圖示例

2.1 Dijkstra算法
該算法的思想是從起點開始，每次新擴展一個距離短的點，并更新從起點到該點的距離與路線。直到拓展到終點，并且往其他方向拓展點的距離不比該點的距離更近時停止。對圖 3 的求解過程如圖4所示。終的路線是。

圖 4 Dijkstra算法拓展過程

2.2 A*算法在Dijkstra中，當前拓展到的點的距離為從起點到當前點的實際短距離。而A* 算法與 Dijkstra相比增加了一個啟發項，即在計算當前點的路線距離時，使用從起點到當前點的實際短距離加上從當前拓展的點到終點的估計距離。因此，在實際距離相同時，估計距離近的點優先繼續拓展。使用A*算法對圖3 的求解結果如圖5 所示。終的路線是

圖 5 A*算法拓展過程示例
 

2.3 多訪問點的路徑搜索算法
前面提到的Dijkstra和 A*算法主要是針對兩個點（起點、終點）尋找一條短路徑，但是對于多訪問點找短路的問題，比如在文初提到的TSP問題，就不適用了。我們開發了一個快速求解的算法。

我們首先使用 Dijkstra算法找出所有兩點之間的短路并存儲相應的路線信息。然后針對多訪問點尋短路問題，分兩個階段進行搜索。
第壹階段：基于動態規劃（DP）求解 TSP的框架，控制初始搜索步長快速得出初始解。
第二階段：對第壹階段得到的初始解使用變鄰域搜索（VND）進行優化。


假設我們有1個出發點（編號為）和6個訪問點（編號為），車輛從出發，需要完成對所有訪問點的訪問。如果終讓車輛停留在后一個訪問點的訪問點，這就是一個開環的路徑，如果要求車輛必須返回出發地，則是閉環的路徑。這里假設為開環路徑，即認為路徑結束的標志是完成所有任務中所有訪問點的配貨。

因為一共有7個點（1個出發點加6個訪問點），所以搜索劃分為6個step，方向為從右至左（從終點至起點），如圖6所示。

圖 6基于 DP框架的step示例

計算過程為，以后一列的點為終點，搜索第壹個?。╝rc），即step(1)的路徑，然后再增加一個 arc，即在step(1)的基礎上搜索step(2)的路徑，以此類推。假設以為終點進行搜索，搜索中的部分過程如圖7所示。終搜索完step(6) 時會搜索出完整的路線。需要注意的一點是，一旦發現某條路線不是可行解時（比如一個訪問點在路線中多次出現），后面可以不再基于此結果進行搜索。

圖7基于 DP框架的部分搜索過程示例

我們這里控制了初始搜索步長len，意為從step(1) 到step(len) 搜索出的路徑是按照 DP的方式搜索到的當前精確合適的路線，而從step(len+1)開始，只記錄該step下的n條路徑中合適的結果。因此，當len的值越大，終搜索的結果越接近精確合適解，但是相應的求解時間也會越長。假設通過該階段終搜索出的合適結果為，接下來將基于此結果執行變鄰域搜索操作。由于是規定的出發點需要保持在輸出路徑的首先位置，因此我們對序列進行鄰域搜索。VND的框架如圖8 所示。

圖 8  VND算法框架

在鄰域搜索中，常用的變換策略有Reinsert、Exchange和Reverse，如圖9所示。

圖 9 三種常見的鄰域變換策略

使用VND不斷地對序列變換得到新的序列，并求新序列的路徑成本。需要注意的是，求路徑成本時要將出發點考慮在內，即將出發點添加到序列前，求該完整路徑的旅行成本。經過VND過程的處理，輸出的路線即作為終規劃的路線，例如一個可能的終輸出路徑果是，需要注意的是，這里的節點相當于是“關鍵節點”，即只包含的出發點和需要進行配貨操作的訪問點。而相鄰“關鍵節點”之間的路線，則是根據前述的 Dijkstra計算的兩點之間的路線進行行駛。今天的介紹就到這里，希望小伙伴們能對路徑規劃問題和算法有所了解和收獲！

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